个人实分析拙劣的笔记,仅供鄙薄.

参考书籍:Folland,《Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications》(Second Edition)

这一节我们来介绍重要的测度,用于度量集合大小的一个指标.

测度:设是基本空间上的代数.定义集函数 若其满足(1).空零性:;(2).可数可加性:对于互不相交的可数集列,有.则称为上的测度.事实上,由(2)我们很容易推出有限可加性,即对于有限个互不相交的集列

,有

反之却是不行的.事实上,如果用有限可加性代替可数可加性,则得到的集函数我们称之为有限可加测度.显然,有限可加测度是非常衰的,他没有测度那么帅.有限到无穷之间存在着一个天堑,应用也是非常狭隘的.

我们称二元组

为可测空间,中的元素(集合)称为可测集;三元组称为测度空间.下面我们来看看测度有哪些美(显)妙(然)的性质吧:

命题:设是测度空间,则有以下性质成立:(1)单调性:若且,则.(2)可减性:如果且,,则 (3)次可列可加性:如果且,那么既然是美(显)妙(然)的性质,我们就不给出证明了.

下面来讨论下测度的极限问题.

命题:设是测度空间.(1).(下连续性)若且是个递增列,则有 (2).(上连续性)若且是个递降列,此外,至少有一个使,则有Proof:(1).如何把括弧里面的拖拽到括弧外面来是个问题,很自然想到可数可加性,但是

大爷们并非两两没有交情,因此需要先处理一下们,令();这样就得到了一列两两无交的集合,而且,灰常完美.然后考虑作用在上利用可数可加性将集合并运算拖到括弧外面成为求和运算,后面就很显然了;(2).首先注意到因为是极限过程,测度有限的

是哪一个不重要,不妨假设是就好.我们当然希望利用(1)的结论,这时候自然要考虑如何将递减列转化为递增列,很显然,是一个递增列,然后带进(1)的结论算一算就好.事实上,计算过程你也会体验到为何需要至少存在一个测度有限的集合.我们还是给个例子来说明这一点吧.

例:设

是实直线上一切子集全体所成的代数.对于,令集函数(若中有无限个点,则为)(实际上,此时称为计数测度,我们后面也会提到).易知为上测度.令则显然

是递降的,但是呢?

进一步看一些有趣的命题.

命题:设是环上的测度,则有如下的性质:(1)若,那么 (2)若,且存在自然数使得,那么 (3)若,存在,且有自然数使得 ,则 (4)()如果且存在自然数,那么Proof:命题是非常有意思的,它联系了集合的上下极限与数列的上下极限.(1)和(2)的证明:注意到集合上下极限的具体形式(交并形式),然后注意到

是关于递减的,(相应有交的版本),从而利用测度的上、下连续性.(3)是(1)和(2)的直接推论.(4)的话,注意条件实际上给出了一个正项收敛级数,放缩时候利用级数收敛的Cauchy准则即可..尽管从测度的定义我们可以推出一系列性质,但是似乎也就到此为止了.我们进一步对测度进行分类.

定义:设是测度空间.(1)若,则称是有限测度;(2)若存在一列,有,且,则称是有限测度;(3)对每一测度为无穷的集合(),若存在使得且具有正有限测度,则称是半有限测度.显然,有限测度空间中每一个可测集测度都是有限的.有限测度一定是

有限测度.事实上,

有限测度是我们重点研究对象,它已经足够好,而比之更弱的测度尽管也有一些有趣的性质,但总的来说不是本书主要阐述的东西.对于有限测度而言,每一,注意到

因而

在每一上的限制也是有限的.我们可以证明

有限测度一定是半有限的:对于任一无穷测度集合,它都可以被分解成可数个有限测度集的并(即上述内容).关于半有限测度还有一些有趣的东西,我们放在番外篇部分.

下面来看一些具体的例子.

例:设

是任意集合,是的幂集.为任意函数.则定义上的集函数: 则(1)

是测度;(2)半有限当且仅当;(3)是有限当且仅当半有限且可数.Proof:(1).显然;

(2).设

半有限,若存在,,则集合不存在具有正有限测度的子集;反之,对任一测度为无穷的集合,任取,则是其一个正有限测度的子集;(3).若

不可数,则的任意分解,则一定存在某一中包含不可数个函数值大于0的点,则该的测度为无穷,从而不可能是有限的;反之,

就说明了

是有限的.注:特别地,在以上例子中,如果取

,则称为计数测度,自然计数测度都是半有限的,特别地,若可数则计数测度还是有限的. 若设某一,有,.则此时称为测度,显然它是有限的.例:设

是一不可数集合,为可数或余可数代数,即

我们定义

则

是上的测度.Proof:我们只陈述一个有趣的事实:

中不可能包含两个不相交的余可数集合.因若不然,由二者的不交性可知从而与

的不可数矛盾.再来一个有限可加测度的例子.

例:设

是无穷集,.定义上集函数

则

是有限可加测度.下面陈述关于零集的事情.

定义-零集:设为测度空间,若有,则称为零集(零测度集).当一个陈述对于零集以外的集合都成立,则称该陈述几乎处处成立.比如说Dirichlet函数在有理点处取0,无理点处取1,则可以说Dirichlet函数几乎处处为1.

我们当然知道对于零集而言,其子集如果依然属于

代数(测度的定义域),则该子集一定也是零集.问题在于,零集的子集是否都属于代数呢?因此我们有如下定义:定义-完备测度:设为测度空间,为任意零集,若对任意,皆有,则称测度为完备测度.完备测度可以避免许多恼人的技术问题,幸运的是,所有的测度都可以延拓为完备测度.

定理-测度的完备化:设为测度空间.令 复令 则是代数,且存在的唯一延拓,其在上为完备测度.Proof:首要之急在于证明

是代数,可数并封闭是简单的,对余运算封闭是需要点转弯的.任取,则存在使得,我们不妨假设,若不然,以代替,代替.则此时有

后面就显然了.

然后我们定义

这么定义是自然的.因为作为延拓,必须对于

,有

因而利用单调性和有限可加性,有

事实上,我们上述即证明了延拓的唯一性.剩下的工作只要证明

是一个测度且其完备,比较容易就从略了.